量化的历史
2021-12-25 10:50 阅读()
即将结束的2021年是量化交易繁荣的一年。其实，量化一词并不是最近才有，甚至在某些方面比金融业的诞生更早，现代意义的量化，其实有接近200年的历史。牛酱将用接下来的三篇文章，为大家重现一下量化自古以来的艰辛历程。
第一部分 几何布朗运动
早在1827年，苏格兰生物学家Robert Brown用他自己的名字命名了微小粒子在液体中自由运动的现象：布朗运动。这种“随机游走”的理念，后来贯穿于许多科学领域，尤其是普遍运用于各种不可预测的连续时间过程的机制。后来，基于布朗运动的对数正态随机游走理论，成了金融市场的经典框架，为之后的量化金融的蓬勃发展奠定了基础。
而1900年，Louis Bachelier成为了第一个用量化描述布朗运动的人。他在1900年的论文中提出：影响股票价格涨跌的原因是无穷无尽的，无法用概率论模型来动态准确地预测，这也不是一项精确意义上的科学；但是，在市场的某一个静态的时刻，可以建立数学模型来分析市场涨跌的概率的大小，这就是随机游走的数学理论基础。他的模型为后来的研究工作提供了大量的参考，例如股票价格模型、期权定价模型等。但遗憾的是，在他的有生之年都没有引起业界的重视，它的价值直到几十年后才被后人发现。
1923年，NorbertWiener为布朗运动建立了一套严格的理论体系，这也是之后几十年的量化金融的数学基础，在数理类学术论文中被大量引用。
在纯数学领域，维纳过程在连续鞅以及连续时间随机过程、扩散过程、位势论中发挥重要作用；在应用数学领域，维纳过程用来代表白噪声高斯过程的积分，是信号处理、控制理论的重要模型；在物理学、量子力学方面，维纳过程也有广泛的运用；在数量金融领域，它是Black-Scholes期权定价模型的基础。
第二部分 伊藤微积分
很难想象如果金融学领域没有了随机过程或者伊藤微积分会是怎样的，有些人甚至认为金融学就是伊藤微积分。
Kiyosi Ito证明了独立变量随机微分方程和该变量函数的随机微分方程之间的关联，其中一个经典的衍生品定价理论就是资产价格演变的对数正态随机微分方程，伊藤引理告诉我们了该资产期权价格的随机微分方程。
简单地说，如果有一个维纳过程X和一个均值为0、方差为dt的正态分布的增量dX，那么增量的函数F(X)可以用泰勒二阶展开表示为：
扩展为一般的正态分布，更严谨的数学表达式为：
第三部分 期权定价
1973年，三位经济学家Fischer Black，Myron Scholes 和Robert Merton给出了欧式期权定价的公式。此公式问世后，带来了期权市场的繁荣。
欧式期权的微分方程由上一部分一般性微分方程变形而来：
从而最后得出欧式期权的价格表达式，也就是大家再熟悉不过的BSM模型
当然也可以扩展成连续分红的一般形式。
BSM公式通过随机微积分的方式得到期权定价的偏微分方程，但是在当时金融从业者并不都精通数学和物理，只有极少数的人能理解这个公式。
Boyle提出的蒙特卡罗模拟法是一种易于理解的方法，但是真正将期权定价推向普及的是Cox, Ross, Rubinstein这三位MBA在读的学生，即二叉树模型。
二叉树期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而，二叉树期权定价模型适用于处理更为复杂的期权，例如百慕大期权或者美式期权。
对于多个资产的期权定价，每一个维度的资产也是遵循对数正态随机游走理论，通过多元积分得到和路径无关的欧式期权的价值。对于此类期权的定价本质就是求积分，这种方式再高维并且正交的情况下会变得很低效，而蒙特卡罗方法可以解决这一问题。
蒙特卡罗积分估计的原理很简单：积分就是平均值乘以一个数量，是一个连续累加的过程。平均值的估计可以通过随机数实现，时间复杂度为O(N)，精度大约可以在O(1/N1/2)，并且是和维度无关的。
20世纪60年代的时候，学者就对低偏差序列做了很多的研究，并且证明了非随机的分布可以达到O(1/N)的精确度(维度之间可能有小的相关性)。如今，一旦需要用到随机数，低偏差序列还是一个十分有用的工具，也普遍用在了期权定价领域。
1990年初，许多学者(Cheyette,Barrett, Moore, Wilmott等)延续了之前的成就成果，进一步对多资产期权定价问题进行研究，他们将数论的知识应用到金融领域。在他们的研究成果公开之后的几年内，哥伦比亚大学一个不相关的组织将这些工作申请了专利。
至此，期权定价已经出现了大量的理论计算方法，也在不断地修正和完善，但和实践的结合始终还是不够紧密。
1996年Marco Avellaneda，Antonio Paras， Arnon Levy 和Terry Lyons取得了突破，提出期权定价不确定波动模型。
这是一个非线性的模型，看似很像BSM的微分方程，但是输入的波动率是不同的，它是由V的凸性，也就是V对S的二阶偏导数决定。
在他们的理论出现之前，期权定价的唯一结论就是价值和delta值。所谓动态对冲也只是理论上可行，而这一模型的出现使得理论向实践又迈进了一步。另外一个重要的结论，就是交易所交易期权的理论价格就是它的市场价格，这使复杂的波动率曲面模型显得有些多余。
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